Phủ định

Phủ định của lượng từ với mọi có được bằng cách thay lượng từ với mọi sang lượng từ tồn tại rồi phủ định mệnh đề đang xét. Nghĩa là,

¬ ∀ x P ( x ) tương đương với ∃ x ¬ P ( x ) {\displaystyle \lnot \forall x\;P(x)\quad {\text{tương đương với}}\quad \exists x\;\lnot P(x)}

trong đó ¬ {\displaystyle \lnot } ký hiệu phép phủ định.

Để lấy ví dụ nếu P(x) là vị từ "x đã cưới", và tập X là tập tất cả các người đang sống thì lượng từ với mọi được dùng như sau:

Với bất cứ ai đang sống x, người đó đã cưới

được viết thành

∀ x ∈ X P ( x ) {\displaystyle \forall x\in X\,P(x)}

Câu trên sai, do đó phải viết thành

Không phải bất cứ ai đang sống x, người đó đã cưới

hay là:

¬   ∀ x ∈ X P ( x ) {\displaystyle \lnot \ \forall x\in X\,P(x)} .

Nếu P(x) không đúng với mọi phần tử thuộc X, thì phải có ít nhất một phần tử khiến cho vị từ sai. Tức là phủ định của ∀ x ∈ X P ( x ) {\displaystyle \forall x\in X\,P(x)} tương đương với "Tồn tại một người đang sống x chưa cưới", hay:

∃ x ∈ X ¬ P ( x ) {\displaystyle \exists x\in X\,\lnot P(x)}

Không được nhầm lẫn giữa "mọi người đều không cưới" (nghĩa là "không có ai đã cưới") với "không phải mọi người đều đã cưới" (nghĩa là "có người chưa cưới"):

¬   ∃ x ∈ X P ( x ) ≡   ∀ x ∈ X ¬ P ( x ) ≢   ¬   ∀ x ∈ X P ( x ) ≡   ∃ x ∈ X ¬ P ( x ) {\displaystyle \lnot \ \exists x\in X\,P(x)\equiv \ \forall x\in X\,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall x\in X\,P(x)\equiv \ \exists x\in X\,\lnot P(x)}

Các kết nối logic khác

Quy tắc suy diễn